대수적 기초: 선과 애프라인 집합
다차원 최적화 환경을 탐색하기 위해, 두 점 $x_1$와 $x_2$ 사이를 어떻게 이동할지를 정의해야 합니다. 수학적으로 선은 다음 조건을 만족하는 모든 점 $y$의 집합입니다:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
또는 동일하게, $x_2$에서 출발하여 방향 $(x_1 - x_2)$를 $\theta$ 배율로 확장해 이동하는 것으로 볼 수 있습니다: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. $\theta$가 모든 실수 $\mathbb{R}$ 범위를 가질 때, 우리는 애프라인 집합을 생성합니다. 기억해야 할 중요한 성질은: 모든 선은 애프라인 집합입니다. 만약 원점을 지나면, 그 것은 부분공간이 되며, 따라서 볼록 콘으로도 간주됩니다.
선분은 $0 \le \theta \le 1$ 제한된 경우입니다. 무한한 선과 달리, 선분은 볼록하지만 애프라인이 아님 입니다 (점으로 줄어드는 경우를 제외하고). 이는 두 끝점 사이의 모든 '가중 평균' 또는 혼합물의 집합을 나타냅니다.
반직선은 $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$ 형식을 가지며, $v \neq 0$인 경우, 또한 볼록하지만 애프라인이 아님입니다. 반직선은 최적화 이론에서 콘의 기초가 되는 구성 요소입니다.
볼록성 검사
집합 $C$를 볼록 세트 내의 임의의 두 점을 연결하는 선분이 세트 내부에 완전히 포함될 때입니다. 이 단순한 요구사항—'다리'의 포함—이 최적화 문제를 해결 가능하거나 해결 불가능하게 만듭니다.
예시: 포트폴리오 최적화
금융 분야에서 $x_1$가 100% 주식 포트폴리오를, $x_2$가 100% 채권 포트폴리오를 나타낸다고 가정해 봅시다. 선분은 가능한 모든 가중 혼합물을 나타냅니다. 예를 들어 60/40 비율은 $\theta = 0.6$에서 발생합니다. 허용되는 포트폴리오 집합이 볼록하다면, 두 유효한 포트폴리오의 어떤 혼합물도 유효함이 보장되며, 이는 위험 평가를 매우 단순화시킵니다.